Впервые открыв книгу Маши Гессен «Соверешенная строгость» в магазине и прочитав несколько строк, я подумал: «Боже мой, неужели редактор журнала «Сноб» к тому же математик?» В тексте, открытом наугад, вполне доступным языком объяснялась гипотеза Пуанкаре, которую доказал Перельман и впервые сделал ее теоремой.
Удивился потому, что это было написано языком человека, хорошо знакомого с математикой. Прочитав книгу полностью, стало понятно, что ее автор учился в математической школе, а при написании книги использовались не только интервью, но и консультации лучших математиков мира. Это первое, чем я восхитился. Второе: язык, на котором в оригинале написана книга — английский, он отличается от других языков в том числе и тем, что обладает «большей строгостью», чем, например, русский. «Совершенная строгость» — только математика и ничего другого.
Читая книгу Маши Гессен по-русски, понимаешь все эти нюансы, но это только придает произведению в целом еще больший шарм, а читателя, в конце концов, оставляет с чувством «удовлетворения от прочитанного» — почти с таким же, которое математики суховато называют чувством «удовлетворения от решения задачи», но при этом испытывают своего рода «интеллектуальный оргазм», который может выражаться ничем или любой из форм человеческого поведения. На этой самой «страсти математика», кстати говоря, а не на математической логике, и построена идея книги. Но логика в этом случае заключается в том, что написана книга, но не доказана теорема. Следовательно, в книге нет «совершенной строгости».
В книге, насколько это возможно, досконально исследуется биография математика Григория Перельмана на основе оригинальных интервью с людьми его окружения и на биографических фактах. По сути автор книги, пожалуй, не только первый биограф гениального математика, но и первый, кто попытался анализировать поступки гения и придать им некую логику, доступную и понятную для всех остальных.
Так автор книги приходит к выводу, что «страсть разума», который вмещает в себя «и мысль и чувство», Перельман приобрел в результате занятий в математических кружках в детстве и участии в математических олимпиадах в юношестве. Казалось бы, обычный рассказ, но история такого рода школ в СССР, история самого Перельмана — совсем необычные рассказы.
Как бы исследуя «разум математика» вообще, Гессен говорит в частности о складе ума «алгебраиста» и «геометра», при этом объясняя, что «Ум Перельмана был способен вобрать в себя математику целиком», — и далее рассуждает: «… топология привлекла его тем, что является квинтэссенцией математики, областью чистых категорий и систем». Таким образом, одна из задач биографа состояла в том, чтобы понять, а значит доказать, почему Перельман после окончания университета становится «геометром», выбирая себе в качестве наставника академика Александрова — «короля геометрии», а не «алгебраистом», выбирая вместо наставника перспективную математическую задачу для карьеры и, решая ее, как это делало большинство и как это делал он сам в математических кружках и на олимпиадах по математике, чтобы доказать свою исключительность мышления. Ответ на это вопрос мне показался неубедительным.
Если исходить от обратного, то Перельман доказал гипотезу Пуанкаре — в области чистой топологии. До этого он занимался потоками Риччи, а раньше и/или одновременно пространствами Александрова. Математик Майкл Атья много лет назад предсказал, что решение гипотезы Пуанкаре лежит в области смежной с топологией и не ее инструментариями. Так оно и произошло. Все это написано в книге и даны соответствующие источники. Поэтому логично согласиться, что «Перельман был способен вобрать в себя математику целиком», а не с тем, кем он стал «алгебраистом» или «геометром».
И далее о методологии доказательства. «Там, где остановился Гамильтон, начал Перельман», — Маша Гессен, квалифицируя всех математиков по трем категориям мышления: Пуанкаре, Гамильтон и Перельман, пишет о доказательстве Перельманом теоремы Пуанкаре как о задаче на математической олимпиаде, каковой ее сделал Гамильтон со своими потоками Риччи: «… это очень, очень сложная олимпиадная задача — ее нельзя было решить за несколько часов, недель или даже месяцев. Это была задача, которую, возможно, не мог решить никто, кроме Перельмана, а Перельман как раз искал такую задачу, чтобы заставить работать свой мозг на полную мощность». Вот такого рода «следствие» мне кажется неубедительным по такого рода «причине».
В этих заключениях отсутствует детерминизм методологии, во-первых потому, что любой амбициозный школьник-участник математической олимпиады, если не мечтал доказать гипотезу Пуанкаре, то точно пытался доказать теорему Ферма. Говорю это в том смысле, что эти задачи были давно сформулированы для большинства математиков такого уровня, а попытка публично решить эти задачи, в большинстве случаев, вызывала улыбку как у математиков, так и у обывателей. Во-вторых, задача гипотезы Пуанкаре вовсе не сводилась к «постановке самой задачи» для Перельмана или других математиков, не зависимого от их склада мышления, — задача была как раз полностью сформулирована, требовалось найти лишь ее нетривиальное решение. В третьих и в-последних, Перельман вряд ли это смог бы сделать как «спортсмен» и «олимпийский чемпион». Это не достигается тренировками. Для этого требовался разум, способный отражать трехмерную сферу в пространстве собственной квартиры. Представить себе работу такого разума еще более немыслимо, чем понять логику доказательства самой гипотезы Пуанкаре.
Конечно, в доказательствах гипотезы Пуанкаре всегда появлялось что-то новое и чтобы понять это новое другим математикам необходимо было время иногда настолько много, что «новое» становилось «старым» или просто ошибочным. Но в этом и состоит процесс познания или решения, а не «формулировка задачи» как об этом говорит Гессен.
Я имею ввиду также и то, например, что объективными предпосылками создания теории относительности был не столько сам гений Эйнштейна, сколько эмпирический факт и теоретически «необъяснимое постоянство скорости света», с одной стороны, а с другой — уже готовая математическая модель Римановой геометрии. Требовался лишь гений Эйнштейна, чтобы сложить эту мозаику. В такого рода методологии познания детерминизм понятен и логичен. Поэтому проблема «строгости» в книге «Совершенная строгость» заключается в том, что совсем не очевидно, что предположил Пуанкаре, в чем метод и какие противоречие были у Гамильтона и как из «затруднительного положения» вышел Перельман, несмотря на то, что интуитивно в общем-то ясно, что в математике случилось примерно то, что случилось когда-то в теоретической физике, благодаря нетривиальному решению Эйнштейна. Просто хочу сказать, что в этом смысле «тайна Перельмана» по-прежнему осталась тайной. Можно считать, конечно, что ему как и Ньютону, упало яблоко на голову…
В популярном объяснении топологии мне показалось смешным: «Тополога можно сравнить с жуком, ползущим по яблоку…» потому что жуку нет дела до того, что сумма углов треугольника больше 180 градусов, а нет дела до этого потому, что жуки не воспринимают функцию третьего измерения. Не знаю почему, но я подумал о фотографах…
Для фотографа камера — почти как сфера для тополога — инструмент. По сути фотограф занимается тем же самым, что и тополог, когда отображает трехмерное пространство на плоскость с помощью фотографии. Это отображение может быть тождественным с точки зрения математики, если «условный коэффициент кривизны пространства» будет равен единице. На практике фотографа этот «коэффициент кривизны» соответствует «штатному объективу» с фокусным расстояние 50 мм для 35 мм плоскости пленки. Приблизительно, конечно. «Широкоугольники» и «телевики», которые так любят многие фотографы, деформируют (фотографы говорят — искажают) трехмерное пространство и соответственно таким образом отображают его на плоскость. Но и в этом случае можно найти тождественность, если знать «функцию деформации» или «коэффициент кривизны пространства». Следовательно, если выбросить все фотоаппараты и все к нему объективы, то фотограф легко превращается в тополога. Шутка, конечно, но иногда стоит попробовать, особенно в случае с фото-охотой на Перельмана.
Сфера является «инструментом» тополога потому, что она присутствует в любом гиперпространстве с бесконечным числом измерений: от двухмерной и выше. Двухмерная сфера — это поверхность шара в трехмерном пространстве. Если, например, сделать фотографию мыльного пузыря, то строго говоря, на фотографии получится не двухмерная сфера, а одномерная, потому что она уже будет существовать не в трехмерном, а в двухмерном пространстве — на плоскости фотографии. Задача заключается в том, чтобы понять, как будут вести себя сферы в различного рода пространствах.
Гипотезу Пуанкаре можно сформулировать и так: если пространство, в котором мы живем «незакрученное» и в нем отсутствуют «дыры», то диффеоморфно ли оно трехмерной сфере, которая «живет» в четырехмерном пространстве.
Например, в случае с трехмерным пространством почти каждый фотограф знает, что плоскость фотографии диффеоморфна двухмерной сфере мыльного пузыря, снятого в трехмерном пространстве. Наглядно, но вульгарно выражаясь.
Интересно и то, что прежде гипотеза Пуанкаре была доказана для пространств с измерениями 5 и выше, но не поддавалось доказательству для четырехмерного пространства и трехмерной сферы. Чистая математики как бы не хотела быть реальностью нашего мира и предпочитала существовать исключительно и только в «фантазиях-пространствах» математиков, пусть и доказанных ими силой разума. Но Перельман вернул математиков и, прежде всего самого себя, к реальности нашего пространства, может быть, на свою беду потому, что эта реальность стала «диффеоморфна» одному миллиону долларов. Представляете, какое оскорбление для разума математика,? Нет, это не шутка.
В общем, я прочитал книгу Маши Гессен и получил удовольствие. Но мне показалось мало, и я со стыдом за свою профессию посмотрел все фотографии Перельмана, недавно сделанные фотографами самой желтой «Правды» — комсомольской, потом посмотрел фильм ВГТРК «Иноходец. Урок Перельмана», скаченный с торрента, в котором использовались почти все источники и даже некоторые заключения Маши Гессен, кроме, пожалуй, одного — антисемитизма в СССР. Однако, имя самой Маши Гессен не было мной также замечено в титрах этого фильма. Что показалось странным уже потому, что в России, да и в мире вряд ли есть человек, кто так досконально исследовал биографию Перельмана.
После этого я тоже решил своими глазами посмотреть на все трехмерное многообразие, в котором была доказана гипотеза Пуанкаре и отправился к месту жительству Перельмана в Купчино (Петербург). Было не сложно найти это пространство. Вот, например, как оно характеризуется на официальном сайте администрации: «Фрунзенскому району, или попросту Купчино, есть чем похвастаться. Оттуда родом наш президент Дмитрий Медведев, там живет великий ученый и затворник Григорий Перельман, там стремительно строятся новые кварталы и все время происходят какие-то необычные акции и мероприятия. Последнее — это заслуга молодого и креативного главы администрации Терентия Мещерякова…» Согласитесь, легко найти везде такое «пространство СССР», как бы оно ни искривлялось и ни деформировалось его обитателями.
Ну а написать этот пост я решил потому, что некоторые журналисты с «Эха Москвы» вдруг решили, что «мое поколение» или время — еще одна величина измерения, но уже больше политическая, чем физическая или математическая — это «поколение президента Медведева» и мне сразу же как-то захотелось считать себя «поколением аутиста Перельмана», который в общем-то был соседом Медведева по трехмерному многообразию в Купчино, но таки «миллион не принял» в мое время или «моим поколением».
Так своими глазами я увидел, что пространство, в котором была доказана гипотеза Пуанкаре — советское. Длинный, панельный дом в девять этажей, выкрашенный в зеленый цвет. С внешней стороны дома — пустырь с небольшой детской площадкой в начале, а в конце — с удивительным кустарником, необычно перекрученным и с явно ядовитыми плодами — ягодами ярко-красного цвета. «Вот, — подумал я, — маленькое доказательство сингулярности четырехмерного пространства». Под ветками кустарника — незаасфальтированная тропинка, очевидно, протоптанная людьми, праздношатующимися из одного пространства — в другое. Осталось только узнать, как эти кусты называются в нашем трехмерном многообразии — и тогда мысли Перельмана станут очевидными и для меня.
По «дороге Перельмана» — от гастронома до подъезда, можно прочитать на заборах некоторые известные всем слова и обороты речи русского и английского языков вперемешку. Но народной рефлексии, связанной с математикой, я не заметил, хотя читал, что Перельман «рисовал сферы» даже на мокром асфальте. Правда в юности. Но и в моей глупой юности писали на стенах: E=mc в квадрате в подворотнях жилых домов, но разве это является сейчас каким-то доказательством?
Поскольку я намеренно не взял с собой фотоаппарат, чтобы, на всякий случай, не искушать себя, то просто сел на лавочку рядом с подъездом и закурил. Потом прочитал все объявления, беспорядочно наклеенные вокруг дверей подъезда, но и в них я не нашел ничего любопытного. Однако, этот чертов кустарник, закрученный и с красными ягодами, местами рос и с этой стороны дома. Так я решил, что это и есть ключ к «тайне Перельмана» и поэтому стал бродить вокруг него в поисках кода, пока одна из проходящих мимо женщин мне не сказала:
— У меня на даче тоже такие кусты растут. Очень много. Очень красивые. У них красные листья осенью, красивые-красивые, а потом красные ягоды…уже по белому снегу.
— А Вы не знаете как они называются? — спросил я.
— К сожалению, не знаю. Я вообще не знаю, как они тут появились. И на даче я их тоже никогда не сажала.
— Интересно. Значит, они просто так появились?
— Да, наверное, просто так, — ответила женщина, а потом добавила, — Но просто так ничего не появляется.
— Да, не появляется, — подтвердил я, — Просто так, я слышал, что в вашем доме Перельман жил?
— Почему жил? До сих пор живет… Я хорошо знаю его. Мой муж учился вместе с его матерью, и мы соседи по подъезду уже много лет. Он очень скромный и такой добрый-добрый. Вы, наверное, слышали его историю?
— Да, слышал. Странная история, — осторожно сказал я.
— Да ничего странного в ней нет. Я думаю, он просто побоялся ответственности…
— Побоялся ответственности? — удивился я.
— Да, ответственности за миллион, — сказала женщина, — Его же могли просто пристукнуть в нашем подъезде за этот миллион. Он ведь совершенно не защищенный… Вы знаете, что здесь творилось, когда про миллион все узнали?
— Догадываюсь, — скромно сказал я.
— А знаете, что на этот миллион теперь детскую школу для молодых математиков решили построить? Там, у них…
— Да, читал кажется…
— Вот видите, а соседи предлагали ему из этого миллиона кровлю нашего дома починить. Течет до сих пор. А он только улыбался в ответ. Молчал и улыбался. У них очень плохо с деньгами, и его мать тяжело болеет. Если умрет, я не знаю, что будет с Гришкой… Ладно, мне бежать надо, вон мой муж уже сигналит, мы на дачу спешим…
— До свидания, — сказал я и почти крикнул ей в след, — Так Вы узнайте, как этот кустарник называется, мне обязательно знать надо.
— Узнаю-узнаю, — на бегу пообещала она.
Я выкурил еще одну сигарету и пошел в гастроном посмотреть на «хлебный отдел» потому, что вспомнил эпизод из книги Гессен: когда Перельман жил в Нью-Йорке, то вместе с китайским математиком пешком ходил на Брайтон Бич в русский магазин покупать хлеб, потому что такой хлеб больше нигде в Америке не продавали, как в гастрономе около его дома в Купчино. На всякий случай я купил два разных сорта. Просто чтобы не ошибиться. И съел оба.
На фото фрагмент иллюстрации к книге Маши Гессен «Совершенная строгость»Оригинальное доказательство гипотезы Пуанкаре впервые было опубликовано здесь (Можно скачать на английском языке)
Whose Mind Perfectly Reflects Sphere 31 октября, 2011Oleg Klimov
